Regression
- Josip Jerkovic
- 4. Apr.
- 3 Min. Lesezeit
Ein zentrales Werkzeug in der Datenanalyse
Regression ist eine der grundlegenden Methoden der Statistik und Data Science, die zur Modellierung und Analyse von Beziehungen zwischen Variablen eingesetzt wird. Sie wird genutzt, um Vorhersagen zu treffen, Muster zu erkennen und den Einfluss unabhängiger Variablen (Prädiktoren) auf eine abhängige Variable (Zielvariable) zu verstehen. Dabei reicht die Bandbreite von klassischen Ansätzen wie der linearen Regression bis hin zu modernen Verfahren wie Support Vector Machines (SVM).
Die zentrale Frage ist, wie man 2 Variablen in einen kausalen Zusammenhang setzen kann. Dabei gibt es mehrere Herangehensweisen, eine der einfacheren Methoden ist die Darstellung über polynomiale steigendes Grades. Ein gängiges Verfahren ist die Methode der kleinsten Quadrate.
Klassische Regression & die Methode der kleinsten Quadrate
Die lineare Regression ist das bekannteste und einfachste Regressionsmodell. Hierbei wird angenommen, dass der Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variable x und der Zielvariablen y durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann:
Dabei sind α₀ der Achsenabschnitt, die Steigung und ϵ der Fehlerterm, der zufällige Abweichungen erfasst. Ziel der linearen Regression ist es, die Parameter α₀ und α₁ so zu bestimmen, dass die Differenz zwischen den vorhergesagten Werten ŷ und den tatsächlichen Beobachtungen y minimiert wird.
Dies geschieht durch die Methode der kleinsten Quadrate, bei der die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert wird:
In Matrixnotation lässt sich dies elegant darstellen. Sei y der Vektor der Zielvariablen, X die Designmatrix mit den Werten der unabhängigen Variablen und β der Parametervektor, so lautet die Lösung:
Diese Formel liefert die optimalen Parameter, die den Fehler minimieren, solange die Matrix
Xᵀ X invertierbar ist.
Über eine größere Matrix, mit einem größeren Rang, lassen sich auch höhere Polynome verwenden. Bei einer 2x2 Matrix mit Rang 2 ist eine Gerade möglich, bei 3x3 quadratische Funktionen und so weiter. Dadurch kann man dies weiterführen, bis man eine geeignete Darstellung findet.
Erweiterungen: Regularisierung und nicht-lineare Regression
Die klassische lineare Regression hat jedoch Schwächen, insbesondere bei hochdimensionalen Daten oder wenn die Prädiktoren multikollinear sind. Regularisierte Verfahren wie Ridge-Regression (L2-Regularisierung) und Lasso-Regression (L1-Regularisierung) erweitern die Methode der kleinsten Quadrate, indem sie eine Bestrafung für zu große Parameterwerte einführen. Dies verbessert die Generalisierungsfähigkeit des Modells.
Für nicht-lineare Zusammenhänge wird die polynomiale Regression verwendet, bei der die Prädiktoren um nicht-lineare Terme erweitert werden. Alternativ können Modelle wie Entscheidungsbäume oder neuronale Netze eingesetzt werden.
Moderne Techniken - SVM
Support Vector Machines (SVM), die ursprünglich für Klassifikationsprobleme entwickelt wurden, können auch zur Regression eingesetzt werden. Dieses Verfahren wird als Support Vector Regression (SVR) bezeichnet. SVR sucht nicht eine Linie, die alle Datenpunkte möglichst genau beschreibt, sondern eine Linie, die innerhalb eines Toleranzbandes ( ϵ ) bleibt, während sie den Fehler minimiert. Gleichzeitig wird die Komplexität des Modells durch eine Regularisierung kontrolliert.
Die Optimierung in SVR basiert auf der Maximierung des Abstandes zwischen den Datenpunkten und der Regressionslinie, was zu einem robusten Modell führt. SVM können sowohl lineare als auch nicht-lineare Zusammenhänge abbilden, indem sie den Kernel-Trick verwenden, der es ermöglicht, die Daten in höherdimensionale Räume zu projizieren.
Anwendung und Bedeutung
Regression ist ein unverzichtbares Werkzeug in vielen Bereichen. In der Wirtschaft wird sie genutzt, um Markttrends zu analysieren oder den Einfluss von Werbung auf Verkaufszahlen zu bestimmen. In der Medizin hilft sie, Risikofaktoren für Krankheiten zu identifizieren. Moderne Techniken wie SVR oder neuronale Netze haben die Möglichkeiten der Regression in den letzten Jahren erheblich erweitert und erlauben die Analyse komplexer, hochdimensionaler Daten.
Zusammenfassend verbindet Regression klassische statistische Methoden wie die Methode der kleinsten Quadrate mit modernen maschinellen Lerntechniken wie SVM. Diese Vielseitigkeit macht sie zu einer der zentralen Methoden in der Datenanalyse.
Die KI-Blog Reihe
Teil 1: Künstliche Intelligenz
Teil 3: Regression
